Aperiodyczy monotyl, znany również jako „einstein” – nie od nazwiska austriackiego fizyka, a niemieckiego wyrażenia oznaczającego jeden kamień (ein stein) – to kształt poszukiwany przez matematyków od dawna. Mowa o jednej figurze, która jest w stanie zapełnić dowolną powierzchnię w unikalny (aperiodyczny) sposób. Nie było pewności, że einstein istnieje, ale udało się go namierzyć dzięki modelowaniu komputerowemu.
Czytaj też: To matematyka steruje biologią! Coraz bliżej odkrycia największej tajemnicy życia
13-boczny kształt, nazywany także “kapeluszem”, ma niezwykłą właściwość – może bez przerw pokryć dowolną powierzchnię (jak płytki łazienkowe) i nie powtórzyć okresowo wzoru po przesunięciu. Szczegóły opublikowano w serwerze pre-printów arXiv.org (praca czeka na recenzję).
Prof. Craig Kaplan z Uniwersytetu w Waterloo mówi:
W tym artykule przedstawiamy pierwszy prawdziwy aperiodyczny monotyl – kształt, który wymusza aperiodyczność wyłącznie poprzez geometrię, bez dodatkowych ograniczeń nakładanych przez dopasowanie warunków. Udowadniamy, że ten kształt, który nazywamy “kapeluszem”, musi składać się w kafelki oparte na systemie zastępczym.
Ten kształt to prawdziwy święty Graal matematyki
Poszukiwania płytki aperiodycznej liczą już ponad pół wieku. Początkowe zestawy miały 20 tys. płytek, kolejne obniżały tę liczbę do pakietów złożonych z 92, a następnie sześciu elementów. Za szczytowe osiągnięcie uważany jest słynny parkietaż Penrose’a, składający się z dwóch rodzajów figur. Powstał on jednak dość dawno – w 1973 r. – a od tego czasu nie wymyślono niczego lepszego. Aż do teraz.
Einstein znajduje się w limbo pomiędzy porządkiem a nieporządkiem. Chociaż 13-boczne płytki pasują do siebie idealnie i są w stanie pokryć nieskończoną płaszczyznę, są aperiodyczne, co oznacza, że nie stworzą powtarzającego się wzoru. Nie tracą swojego charakteru, nawet gdy zmieni się długość ich boków. Kapelusz jest jedynym takim znanym nam kształtem. Zidentyfikował go David Smith, matematyk amator, który opisuje siebie jako “pomysłowego majsterkowicza kształtów”.
Kapelusz należy do rodzaju figur określanych mianem polykite (brak polskiego odpowiednika). Naukowcy udowodnili, że płytka jest einsteinem na dwa sposoby. Pierwszy wynika z obserwacji, że kapelusze układają się w większe skupiska nazywane metatylami, które łączą się w jeszcze większe grupy – i tak w nieskończoność. Jest to rodzaj hierarchicznej struktury powszechnej dla kafli, które nie są okresowe. Drugi dowód opiera się na fakcie, że kapelusz jest częścią kontinuum kształtów – zmieniając stopniowo długości jego boków, można stworzyć rodzinę płytek, które przyjmą ten sam niepowtarzający się wzór.
Czytaj też: Tęcza może mieć kształt koła, ale żeby ją dostrzec musisz wydać nieco pieniędzy
Odkrycie kapelusza może mieć konsekwencje w rzeczywistości. Za odkrycie kwazikryształów, czyli materiałów z atomami ułożonymi w uporządkowaną strukturę, która nigdy się nie powtarza (często przytaczanych jako analogia do parkietażu Penrose’a), Dan Shechtman otrzymał w 2011 r. Nagrodę Nobla w dziedzinie chemii. Niewykluczone, że nowa aperiodyczna figura zapoczątkuje badania nad materiałami i doprowadzi do kolejnych odkryć. Teraz naukowcy będą polować na kolejne “einsteiny”.